|
|
WISKUNDE & INFORMATICA: REKEN MAAR!
|
Klik op een topic in de tabel hieronder voor meer informatie.
Wiskunde & Informatica: Reken maar! Puzzel 5
Dit is raadsel 5 uit een serie van 5.
Een klas heeft 18 leerlingen. Elke schooldag krijgen ze een andere plek.
Elke plek heeft 2 nummers. De leerling leest aan het onderste nummer af op
welke plek hij of zij de volgende dag moet gaan zitten, aangeduid met het
bovenste nummer. Elke leerling doet mee aan een stoelendans, en de klas
als geheel aan meerdere.
Op de 1e dag van het schooljaar zijn Arjan, Betty, Claudia en Dirk
gezellig samen achterin gaan zitten, maar dat blijft dus niet zo.
Na hoeveel schooldagen zitten alle leerlingen weer op hun oude plek? Na
hoeveel schooldagen zitten Arjan, Betty, Claudia en Dirk weer op de
achterste rij? Wanneer zitten ze allevier op de voorste rij? Hint:
bekijk de individuele leerling. Je ziet dan dat elke leerling afzonderlijk
al na een paar dagen op zn oude plek terugkomt. Alle leerlingen die na
hetzelfde aantal dagen op hun oude plek terugkomen, vormen een groep die
blijft rouleren over elkaars stoelen. Hoeveel van die groepjes zijn er, en
hoe groot zijn ze? Laatste hint: Je hebt al gevonden dat de
roulerende klas bestaat uit een aantal groepjes, waarbij elk groepje over
maar een paar stoelen rouleert. Stel, er is een groepje van 4 leerlingen
(deze leerlingen komen na 4 dagen op hun beginplek terug), en een groepje
van 5 (deze komen na 5 dagen op hun beginplek terug). Dan zitten alle
leerlingen van beide groepen tegelijk pas na 4x5=20 dagen weer op hun oude
plek. Volgens dit principe kun je de eerste vraag direct beantwoorden. Bij
vraag twee moet je nog goed opletten hoe vaak de diverse groepen de
achterste rij aandoen. Als je dat ook hebt opgelost, heb je zoveel inzicht
in hoe de klas rouleert dat de derde vraag geen probleem meer zal
zijn.
OPLOSSING!
Je kunt natuurlijk de klasse-indeling op de eerste, tweede, derde,
.........schooldag helemaal uitschrijven en dan in die stapel papier gaan
zoeken wanneer de hele klas weer op dezelfde plek zit, enzovoort. Maar dit
kan veel makkelijker. Als je individuele leerlingen volgt op hun route
door de klas, zie je dat elke leerling al na een paar dagen op zijn oude
plek terugkomt. Alle leerlingen die na hetzelfde aantal dagen op hun oude
plek terugkomen, vormen een groep die blijft rouleren over elkaars stoelen.
Er is een groepje van acht leerlingen met Claudia, dat rouleert over
de stoelen 1,12,10,8,6,17,15,3 (dus na 8, 16, 24,.... dagen zit deze groep
weer op de oude plaats);
een groepje zeven leerlingen met Betty en Dirk
dat rouleert over de stoelen 2,4,18,14,11,7,16 (dus na 7,14,21,.....dagen
zit deze groep weer op de oude plaats)
en een groepje van drie met Arjan dat rouleert over de stoelen 5,13,9.
(dus na 3,6,9,.....dagen zit deze groep weer op de oude plaats).
Omdat de getallen 8,3 en 7 geen gemeenschappelijke delers hebben, zitten
alledrie de groepen gelijktijdig pas weer op hun oude plek na 8*3*7=168
dagen.
Bij vraag twee en drie geldt hetzelfde principe, maar moet je wel
nauwkeurig turven hoeveel stoelen in elke groep op de achterste,
respectievelijk voorste rij staan.
Dan blijkt bijvoorbeeld dat Claudia op de achterste rij zit na 7, 15, 23,
31, 39 .... dagen en na 8,16,24,32,.... dagen.
Op de voorste rij zit
ze na 1,9,17,25,....dagen, na 2,10,18,26,..... dagen en na 6,14,22,30,....
dagen.
Je hoeft deze getalrijtjes nooit verder dan tot 168 op te schrijven, want
dan is de oude situatie weer teruggekeerd en begint alles opnieuw.
Als je dit ook voor de andere drie doet, blijkt dat Arjan, Betty, Claudia
en Dirk alleen na de 24e dag allevier weer ergens op de achterste rij
zitten (maar niet op hun oude plek). Er blijkt geen enkele dag te zijn,
waarop Arjan, Betty, Claudia en Dirk allevier ergens op de voorste rij
zitten.
|
